韓信點兵 - 中國剩餘定理

>> 2009年8月30日 星期日

相傳漢高祖劉邦,欲擒韓信,但不知其統御兵士多少,恐有變數,故試探問道︰「卿有兵何?」
那知韓信巧妙地回答︰「兵不知數,三三數之剩二,五五數之剩三,七七數之剩二。」
劉邦不懂得答案,問請教於張良。張良正在心中緊張地搬運「籌策」計算看,滿臉迷惑,低聲而惶恐的回答:「兵數無法算,不可數!」
這位以「籌策之術」著名當代,號稱「運籌帷幄之中,決勝千里之外」的張良,竟然也如此回答。大漢皇帝劉邦大吃一驚,一下子酒全化為冷汗,酒全醒了。
這個問題俗稱為「韓信點兵」,大約在三國到魏晉南北朝之間(公元280 ~ 473年)有一本數學古書名叫「孫子算經」就已有這個問題的解:
「三三數之賸二,置一百四十,五五數之賸三,置六十三,七七數之賸二,置三十,並之,得二百三十三,以二百一十減之,即得。凡三三數之賸一,則置七十,五五數之賸一,則置二十一,七七數之賸一,則置十五,即得。」
哈哈,原來當時韓信手上最少只有二十三人就把劉邦嚇怕了。
孫子算經的解法其實也是現今數論證明的內涵,因為其解法遠在一千五百年前就已經為中國人發現,故名中國剩餘定理。它是整數論裡一個非常重要的法則。

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空蝕效應(Cavitation)和超空蝕效應(Supercavitation)及其應用

>> 2009年8月9日 星期日

「空蝕效應」(Cavitation)是流體動力學、材料學和物理化學的復雜現象,又稱剝蝕或氣蝕。這是用來描述運動物體受到空化沖擊后表面出現的變形和材料剝蝕現象。在流動的液體中,當局部區域的壓力因某種原因而突然下降至與該區域液體溫度相應的氣化壓力以下時,部分液體氣化,溶於液體中的氣體逸出,形成液流中的氣泡(或稱空泡),這一過程稱為空化。空泡隨液流進入壓力較高的區域時,失去存在的條件而突然潰滅,原空泡周圍的液體運動使局部區域的壓力驟增。如果液流中不斷形成、長大的空泡在固體壁面附近頻頻潰滅,壁面就會遭受巨大壓力的反復沖擊,從而引起材料的疲勞破損甚至表面剝蝕,這就叫空化剝蝕,簡稱空蝕。

1902年,最先在英國驅逐艦“Cobra” 號螺旋槳上發現空蝕。接著在水工建筑物和水力機械上也看到同樣的現象。當時認為槳葉材料的剝落是海水腐蝕造成的,但是試驗証明在蒸餾水中運動的物體也會出現類似的剝蝕, 因而確認這種現象僅是機械力沖擊的結果。據現在分析,上述兩種因素都起作用。在空化過程中,空泡急速產生、擴張,又急速潰滅,在液體中形成激波或高速微射流。金屬材料受到沖擊后,表面晶體結構被扭曲,出現化學不穩定性,使鄰近晶粒具有不同的電勢。物體表面局部點上材料剝落后,出現的新的純淨金屬和周圍舊金屬之間構成一對電極而產生腐蝕電流,從而加速電化學腐蝕過程。剝蝕區域中材料的機械性能顯著惡化,從而導致空蝕量激烈增加。因為空泡在潰滅過程中能形成電離層,所以施加適當的外磁場就能控制空蝕程度。

空蝕的程度以空蝕強度來衡量。空蝕強度常用單位時間內材料的減重、減容、穿孔數和表面粗糙度變化作為特征量。空蝕過程分為幾個階段:最初隻有材料表面的變形或少量減重,形成空蝕潛伏區;然后單位時間的減重突然增大,形成空蝕加速區;過些時間后,單位時間的減重慢慢減小,形成空蝕減速區;最后,單位時間的減重基本不變,形成空蝕穩定區。因為液體和材料的性質不同,上述各個階段中的變化也有差異。

空蝕是空化的后果,但並非所有空化都造成材料的損壞,隻有不穩定的空化,如不定常流動中出現的空化或封閉空泡的尾端,才會引起空蝕。因此,空蝕往往出現在物體的局部區域。空蝕的機理與材料受固體微粒或液滴沖擊而損壞是不同的。為消除和減輕空蝕損壞,運動部件應在盡可能穩定的條件下運轉。消極的辦法是在可能發生空蝕的部位涂上或包上彈性強的材料,或注入氣體以吸收空泡潰滅所輻射的能量,也可用化學防腐方法來減輕空蝕過程的腐蝕作用。

超空蝕(Supercavitation)就是運用相同的理論,從穿過水中的物體前方開始,產生一個足以包覆整艘船艦的大氣泡,使得船艦本身完全在氣泡中船行。如此一來,船艦變成和在空氣中前進沒兩樣,除了最尖端產生空蝕效應的那個點阻力較大之外,其餘部份阻力都和在空氣中一樣小。


傳說中蘇聯就用這個技術發展出了一枚名為 Shkval 的火箭魚雷,
可以在水下以每小時 400 公里以上的時速前進。美國自然不可能從這樣的研究中缺席,除了研究超空蝕效應的魚雷和炮彈(可以直接從船上炮轟潛艦)外,自然使用超空蝕效應的潛水艇也在時程上。這個由 DARPA 在 2006 年發包給 Electric Boat(通用動力公司的子公司)的合約,將在明年測試第一艘 1/4 大小的試驗船,最終目標是一艘 30 公尺長,時速 185 公里以上的潛水艇。俄羅斯的火箭引擎推動超空蝕魚雷VA-111 暴風能以200海里(每小時230英里) 的速度行駛。

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